[일반물리학개념] 베르누이 방정식(베르누이 정리, Bernoulli 방정식)

<베르누이 방정식>

베르누이 방정식은 에너지 보존법칙을 표현한 것입니다.
유체의 에너지 보존법칙이기 때문에 압력, 밀도, 부피를 사용합니다.

유체가 일정 비율로 관 속을 왼쪽에서 오른쪽으로 흘러가는 모습

위 그림에 있는 이상유체 전체를 하나의 계로 생각합시다.
이 때, 계가 초기(입력되는 상태)에서 최종상태(출력되는 상태)까지 변하는 상황에
에너지 보존 법칙을 적용합니다. (유체가 들어와서 나가는 과정에 적용합니다)

전 내용을 참고하면 이해가 더 쉬울 수 있습니다.
https://saeutang.tistory.com/11?category=1060740

[일반물리학개념] 이상유체의 운동: 연속방정식

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<식 유도하기>

일단 일-운동에너지 정리를 생각해봅시다. 이는 "계의 운동에너지 변화=외부에서 계에 한 일" 을 의미합니다.
즉 $W= \Delta K$ 입니다.

여기서 $\Delta K$는 운동에너지 변화입니다. 이는 양쪽 끝에서의 속력의 차를 생각하면 됩니다.
$$ \Delta K= \frac{1}{2} \Delta m v^{2}_{2}- \frac{1}{2} \Delta m v^{2}_{1}=\frac{1}{2} \rho \Delta V(v^{2}_{2}-v^{2}_{1})$$

이때 $\Delta m(=\rho \Delta V)$는 $\Delta t$ 동안 들어오거나 나가는 유체의 질량입니다.

운동에너지 변화를 식으로 표현했으니, 이제 계에 한 일을 생각하면 됩니다.
계에 한 일은 두가지가 있습니다.

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<일 구하기>

1. 중력이 한 일 $W_{g}$
2. 유체를 밀어넣는 힘과 유체를 밀어내는 힘이 한 일 $W_{p}$

중력이 한 일은 다음과 같습니다.
$$W_{g}=-\Delta m g(y_{2}-y_{1})=-\rho g \Delta V(y_{2}-y_{1})$$
유체는 위로 올라가지만 중력은 아래로 작용하므로, 음의 부호를 가집니다.

이제 밀어넣고 밀어내는 힘이 한 일을 생각해봅시다.
일단 크기가 F인 힘이 유체를 움직인다고 가정하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$F\Delta x=(pA)(\Delta x)=p(A\Delta x)=p\Delta V$$
이때, 아까 그림을 다시 보죠

유체가 일정 비율로 관 속을 왼쪽에서 오른쪽으로 흘러가는 모습

이 상황에서, 계에 한 일은 $p_{1}\Delta V$ 입니다.(밀어넣는힘)
계가 한 일은 $-p_{2}\Delta V$ 입니다.(밀어내는 힘)
둘을 더한 합 $W_{p}$는 다음과 같습니다.
$$W_{p}=-p_{2}\Delta V+p_{1}\Delta V=-(p_{2}-p_{1})\Delta V$$

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<식 도출>

다시 일-운동에너지 정리를 생각해보죠.
$W=W_{g}+W_{p}=\Delta K$
이 식에 구한 값들을 대입하면
$$-\rho g \Delta V(y_{2}-y_{1})-\Delta V(p_{2}-p_{1})= \frac{1}{2}\rho \Delta V (v^{2}_{2}-v^{2}_{1})$$
이 식을 정리하면
$$p_{1}+\frac{1}{2} \rho v^{2}_{1}+ \rho g y_{1}=p_{2}+\frac{1}{2} \rho v^{2}_{2}+ \rho g y_{2}$$
이를 또 다시 표기할 수 있습니다.(ㅋㅋ)
$$p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g y=상수 (Bernoulli 방정식)$$

이 베르누이 방정식은 새로운 법칙은 아니고, 유체역학에 보존법칙을 적용한 결과입니다.

또한 이 식에서 $v_{1}=v_{2}=0$ 으로 놓으면 다음과 같은 식이 나옵니다.

$$p_{2}=p_{1}+\rho g (y_{1}-y_{2})$$
또한 유체 높이가 변하지 않는다고 가정한다면

$$p_{1}+\frac{1}{2} \rho v^{2}_{1}=p_{2}+\frac{1}{2}\rho v^2{2}$$
으로 나타낼 수 있습니다.

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<식의 의미>

$p_{1}+\frac{1}{2} \rho v^{2}_{1}=p_{2}+\frac{1}{2}\rho v^2{2}$ 이 식은 수평인 유선을 따라(y=0이라 가정했으므로) 유체요소가 움직이면서 속력이 빨라지면 유체의 압력은 감소해야 하고 그 역도 성립함을 나타냅니다.