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수조 하나를 생각해보겠습니다.
믿기지 않는 그림 우리가 잘 알듯이, 수조에 잠수해서 아래로 내려갈수록 수압이 강해집니다. 이유는 물이 우리를 누르기 때문에 수압이 생기는데, 아래로 내려갈수록 더 많은 양의 물이 우리 위에 있기 때문이죠. 반대로 위로 올라갈수록 수압은 약해질 것입니다.
이는 물뿐만 아니라 기체에도 적용됩니다. 우리가 더 높은 곳으로 올라갈수록, 기압이 낮아집니다. 즉 공기가 적어지는 것이죠. 그렇기에 높은 산에 올라가는 사람들이 산소호흡기를 사용하는 것입니다.
이러한 경우에 느끼는 압력을 정지 유체압력이라고 합니다. 정지한 유체 속에서 느끼는 압력이기 때문입니다.
우리는 정지 유체압력에 관한 식을 하나 도출하는 것이 목표입니다. 한번 분석해보죠.
물에 대한 자유물체그림 물은 정지해 있고, 물에 작용하는 힘들은 평형을 이룹니다.
물에 수직으로 작용하는 힘은 그림과 같이 위쪽 물이 아래쪽 물에 작용하는 $\vec{_F{1}}$ , 아래쪽 물이 위쪽 물에 작용하는 $\vec{_F{2}}$ 가 있으며, 물에 작용하는 중력 $m\vec{g}$ 가 있습니다. 여기서 m은 물의 질량입니다.
이때 이 세 힘이 평형을 이루기 때문에, 방정식을 세우면 다음과 같습니다. $$F{_2}=F{_1}+mg$$
압력으로 표현하려면($p=\frac{F}{A}$ 임을 이용) 다음과 같습니다. $$F{_1}=p{_1}A , F{_2}=p{_2}A$$
※굳이 왜 압력으로 표현할까? : 유체는 넓게 퍼져있습니다. 그렇기에 유체 속 입자의 힘과 질량보다는 대충 뭉뚱그려 표현할 수 있는 밀도와 압력을 주로 씁니다.
밀도와 압력을 주로 쓴다고 했으니 질량도 "유체식" 표현으로 한다면 $m=\rho V$ 입니다.
물안에 물있다 방금까지는 물 전체를 대상으로 식을 세웠는데, 이번에는 물속 일부 물에 대한 식으로 해보겠습니다. 위 그림에 그려진 점선 사각형 안의 물 말입니다.
저 점선 사각형 안의 물의 질량은 $m=\rho V$ 에 $y{_1}-y{_2}$ 을 곱하면 됩니다. 즉 $m=\rho V(y{_1}-y{_2})$ 입니다. 이를 아까 식 $F{_1}=p{_1}A , F{_2}=p{_2}A$ 와 함께 식 $F{_2}=F{_1}+mg$ 에 대입해보겠습니다.
$$p{_2}A=p{_1}A+\rho Ag(y{_1}-y{_2})$$ 이를 정리하면 다음과 같습니다. $$p{_2}=p{_1}+\rho g(y{_1}-y{_2})$$
이 식은 꼭 액체 속에서만 적용되는건 아닙니다. 기체에서도 적용됩니다. 같은 유체니까요.
그리고 이 식을 수심 h인 위치에서 압력 p를 구하기 위해 변형할 수 있어요(y1을 0으로 하고 p1을 p0로, y2를 -h로, p2를 p로 두면 됩니다. 걍 점선 사각형의 윗변을 수면으로 올렸다고 생각하면 됨) 즉 다음과 같습니다. $$p=p{_0}+\rho gh (깊이 h에서의 압력)$$ 이 식을 보면 액체 속 압력은 깊이에만 의존한다는걸 알 수 있습니다.
좀 있어보이는 문장으로 정리할게요.
정적 평형상태인 유체 내 한 점에서의 압력은 깊이에만 의존하고 유체나 유체가 담겨있는 그릇의 수평적 크기나 위치와는 상관이 없다.
$p=p{_0}+\rho gh (깊이 h에서의 압력)$ 이 식을 한 번 보죠. 여기서 p는 전체 압력, 절대 압력이라고 합니다. 그림으로 보면
그냥 물 속 압력이 p입니다. 이때 p에 영향을 끼치는건 두개인데, 하나는 p0로 공기의 압력입니다. 다른 하나는 $\rho gh$인데 이거는 위치 2보다 위에 있는 액체가 위치 2를 누르는 압력입니다. 즉 위에 있는 물이 누르는 압력입니다.
$\rho gh$를 계기압력이라고도 하는데, 이유는 계기판으로 확인할 수 있는 압력이기 때문입니다. 계기판이 지상(수면)의 압력까지는 안재거든요. 지상의 압력은 무시하고 물속으로 들어갔을 때 압력을 측정하기 때문입니다. 있어보이게 말하자면 계기압력은 절대압력과 대기압의 차이를 의미합니다.번외로 수면 위로 올라가는 상황을 식으로 표현할 수 있습니다. 다음과 같이요.
$$p=p{_0}-\rho {_a}$$ 여기서 a는 air를 의미합니다. 즉 공기의 밀도입니다. d는 수면으로부터 떨어진 거리입니다.
오늘의 그림